확률변수와 확률분포

1. 정의

• 확률 변수의 정의역 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )}$은 확률 변수의 확률 공간이다.
• 확률 변수의 공역 ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$은 확률변수의 상태 공간(독일어: Zustandsraum, 영어: state space)이다.

확률 공간 ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$는 그 상태 공간 ${\displaystyle E}$에 다음과 같이 확률 측도 ${\displaystyle \Pr(X\in \cdot )}$를 정의한다.

${\displaystyle \Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad \forall S\in {\mathcal {E}}}$

이는 확률 변수 ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle S}$ 속의 값을 가질 확률이라고 한다.

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확률 시행에서 표본공간 S의 각 원소 _{(단, i=1,2,}⋯n)가 단 하나의 실수에 대응하는 함수 X를 확률변수라고 한다. 즉 확률변수는 표본공간 S가 정의역이고 실수의 집합 ℝ이 공역인 함수로 표본공간 S에서 실수의 집합 ℝ로의 함수를 뜻한다. 

기호로는 확률변수    → ℝ

로 나타낸다.

2. 이산확률변수

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확률변수에 치역의 원소 개수를 셀 수 있을 때, 그 확률변수를 이산확률변수라고 한다. 

3. 연속확률변수

** 

확률변수에 치역의 원소 개수를 셀 수 없거나 어던 구간의 모든 실수값을 치역에 원소로 가질 때, 그 확률변수를 연속확률변수라고 한다. 

4. 확률분포

확률변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미한다. 

기호: 확률변수  X의 확률분포 = P(X= x) 또는 f(x) 이다. \

참고 : 위키백과