그리스 논증 기하학의 시작

B.C. 4세기 중엽, 고대 그리스인들은 기하학의 문제를 어떤 실험이나 관찰이 아닌 기본 명제에서 출발해 오직 논증에 의한 추론으로 연역적 사슬로 얻어지는 기하학을 창조했다. 이를 논증기하학 도는 연역기하학이라 한다. 

고대 그리스 시대에는 이런 기하학을 모든 학문의 바탕으로 여겼다고 한다. 

" 신은 기하학적으로 사고한다"    -플라톤

기하학의 추론에 의한 논증은 오류를 인정하지 않는다는 것을 의마한다. 

그리스 수학은 계산술보다 기하학이 발전했고 미술, 건축 등에 기하학적 조화와 균형을 중요시 했다고 한다. 

이러한 논증기하학에 큰 영향을 준 사람들이 탈레스 , 피타고라스, 히포크라테스, 플라톤, 에우독솟, 유클리드 등이다. 

529년 말에 가면 아테네 학교가 쥬스티니안(Justinian) 황제의 명령에 의해 영원히 문을 닫고 만다. 이어 641년에는 알렉산드리아가 아라비아에 넘어가면서 그리스 기하학의 역사가 막을 내리게 됐단다... 

1. 기하학의 창시자 <탈레스>

그리스 7현 중 한 사람으로 소아시아 연안의 그리스 식민지 밀레투스에서 태어났다. 페니키아의 혈통이며 부유한 상인 집안으로 이집트에서 수학과 천문학을 배웠다. 

유클리드의 <원론>에 일부 증명이 탈레스의 증명으로 간주된다. 

1. 원은 임의의 지름에 의하여 이등분 된다.

2. 이등변 삼각형의 두 밑각은 서로 같다.

3. 두 직선이 만나서 만드는 맞꼭지각은 서로 같다.

4. 두 삼각형에서 대응하는 두 각이 서로 같고 대응하는 한 변이 서로 같으면 두 삼각형은 서로 같다. 

5. 반원에 내접하는 원주각은 직각이다 .

탈레스가 이집트에서 최초로 비례식을 이용하여 피라미드의 높이를 계산했다는 것은 유명한 일화다. 

그런데, 전해오는 얘기에서 피라미드 꼭지점의 그림자에서 피라미드 밑면의 중심까지의 길이를 구하는 방법이 언급되지 않아 이 부분을 탈레스의 수수께끼로 불리게 되었단다. 

또한, 탈레스는 만물의 근월을 '물'로 보았다. 그리고, 기원전 585년 5월 28일 일식이 일어날 것을 예언한 것으로 유명하다. 

2. 피타고라스 정리

탈레스에 의한 기하학의 체계화는 피타고라스와 그 제자들에 의해 다음 2세기 동안 계속 진행되었다고 한다. 

그들은 피타고라스 학파를 창설했고 여기에서 그 유명한 피타고라스 정리가 나왔다. 

직각삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다

이런 정리가 고대 문명국가인 바빌로니아, 중국에는 이미 알려졌다고 하는데 수학계가 일반적 증명으로 피타고라스를 최초로 보고 있다. 

전해오는 얘기에는 피타고라스는 이 정리를 증명하고 신에게 황소 100마리를 바쳤다고 한다.

증명.

1.주어진 직각삼각형의 두 변을 a, b 그리고 빗변을 c라 하고, 위와 같이 변의 길이가 (a+b)인 두 개의 정사각형 있다고 하자. 

2. 왼쪽 정사각형을 변의 길이가 각각 a, b인 두 개의 정사각형과 주어진 직각삼각형과 합동인 네 개의 직각삼각형으로 6분할을 한다.

3. 오른쪽 정사각형은 빗변 c를 한 변으로 하는 정사각형과 주어진 직각삼각형과 합동인 네 개의 직각삼각형으로 나누어 지도록 5분할을 한다. 

4. 두 그림에서 같은 직각삼각형을 제거하면 왼쪽 그림은 두 정사각형만 남고 오른쪽 그림은 빗변 c를 한 변으로 하는 정사각형만 남게 된다. 

5. 따라서, 주어진 주어진 직각삼각형의 빗변에 대응하는 정사각형의 면적은 주어진 직각삼각형의 두 변에 각각 대응하는 정사각형의 면적의 합과 같게 된다. 

전제조건. 

두 번째 분할에서 가운데 사각형이 변 c를 갖는 정사각형이라는 사실을 증명하기 위해서는 직각삼각형의 각의 합은 두 직각과 같다는 명제가 필요하다. 

초기 그리스 수학에 대한 중요한 정보가 담겨져 있는 Proclus의 <Eudemian Summary>에 보면 이 명제가 일반 삼각형에 대해서도 성립한다는 사실을 증명한 것은 피타고라스 학라고 나와있다고 한다. 이 명제를 증명하기 위해서는 평행선 성질에 관한 지식이 필요하다. 

후에 루미스(Loomis E.S.)는 <피타고라스의 명제> 2판에서 피타고라스 정리에 대한 370개의 증명을 수집 분류하였다고 한다. 

피타고라스 학파의 또 하나의 업적은 피타고라스 정리의 결과인 무리수의 발견이다. 

 ** 유리수 : 정수의 비로 나타낼 수 있는 수. 한 점에서 임의의 다른 한 점까지 선분을 표시했을 때  그 값을(정수) 임의의 다른 값(정수)로 분할한 값

설명. 

단위 길이를 갖는 정사각형의 대각선과 길이가 같은 거리의 선분을 수직선상에 대응시켰을 때 어떤 유리수도 존재하지 않는다. 

* Hippasus : 삐따고라스 학파 내에서 무리수 존재를 알린 사람

증명.  피타고라스 정리에 의해 단위선분을 변으로 갖는 정사각형의 대각선의 길이는 

이기 때문에  가 무리수 임을 보이기로 하자. 

가 유리수, 즉 =p/q와 같이 표현된다고 가정하자. 여기서 p와 q는 서로소인 정수이다.

**서로소: 1과 자가 자신외에 어떤 정수로도 나누어지지 않는 수

 그러면

p=q 또는 p*p=2*p*p

이고, p*p는 p*p의 2배이므로 짝수이다. 따라서 p도 짝수이므로 p=2r이라고 하면 

4*r*r=2*q*q 또는 2*r*r=q*q

이다. 따라서 q*q는 짝수이고, 또한 q도 짝수이므로 p와 q가 서로소인 가정에 모순이다. 

그러므로, 는 유리수가 아니고 무리수이다.

증명끝.

가정에 모순 증명은 Aristoteless(384~322 B.C.)가 발표했던 전통적인 증명이다. 

플라톤에 의하면, 가 무리수라고 밝혀진 뒤에 Cyrene학파의 Theodorus(about 425 B.C.)는 다른 무리수도 존재함을 밝혔다고 한다.

 3. 궁형구적법의 발견. Hippocrates

** 궁형구적법 : 구적법-구의 면적을 구하는 법, 궁형-활모양

Hippocrates(500?~428 B.C.)는 처음으로 공리와 공준을 만들어 논리적인 방법으로 기하학의 정리를 전개시킨 <기하학의 원론>을 저술했다. 

그의 가장 위대한 업적은 궁형구적법(Quadrature of the Lune)을 증명한 것이다 .

궁형(lune)이란 지름이 다른 두 원의 호로 둘러쌓인 초승달 모양의 평면도형을 말한다. 구적이란 콤파스와 눈금이 없는 자를 이용하여 주어진 평면도형과 똑같은 면적의 정사각형을 작도하는 것을 말한다. 이런 작도가 가능한 평면도형을 구적가능한(quadrable)도형이라고 한다.

(1) 직사각형의 구적

*** 모든 직사각형은 구적가능하다 ***

<증명>

                                           

위와 같이 주어진 직사각형 BCDE에 대하여 콤파스를 이용해  BE의 오른쪽으,로 ED와 같은 길이로 EF를 취하고, BF를 지름으로 하는 반원을 그린 다음 DE를 연장하여 반원과 만나는 점을 H라 하자. 그리고 BF를 이등분 한 점을 G라고 하자. 

EH를 한 변으로 하는 정사각형 EHLK를 그리면 구하려는 정사각형이다. 

왜냐하면,

GH = a, GE=b, EG=c이면

DE=EF=반지름-b=a-b, BE=a+b

피타고라스 정리에 의해 c*c=a*a-b*b 이므로 

직사각형 BCDE의 면적=BE*ED=(a+b)(a-b)=a*a-b*b=c*c=정사각형 EHLK 이다. 

(2) 삼각형의 구적

  *** 모든 직사각형은 구적가능하므로 모든 삼각형은 구적가능하다.***

<증명>

임의로 주어진 삼각형 ABC에서 꼭지점 A에서 밑변 BC에 내린 수선의 발 D에 대하여 수선 AD의 중점을 M이라 하면, 

삼각형 ABC의 면적  = BC * AD *1/2 = BC * DM  

(3) 다각형의 구적

** 다각형의 면적은 여러 개의 삼각형(폴리곤)의 면적의 합이나 차로 나타낼 수 있다. **

위에 그림과 같은 일반적인 5각형은 세 개의 삼각형 A, B, C로 나누어져 있다. 각 삼각형은 구적가능하므로 각각 변의 길이가 a, b, c인 정사각형으로 구적가능하다고 할 수 있다. 

위 그림에서처럼, a와 b를 직각으로 낀 직각삼각형을 작도하고 빗변을 x라고 하고 x와 c를 직각으로 낀 직각삼각형을 작도하고 그 빗변을 y라 하면

  y*y = c*c + x*x = c*c+(a*a+b*b) = A+B+C

이다. 따라서 빗변 y를 한 변으로 하는 정사각형이 구하려는 정사각형이다. 

(4) 궁형구적

아래 그림에서와 같이 반원 ACB에 내접하는 직각이등변 삼각형의 한 변 AC를 지름으로 그린 반원 AEC와 반원 ACB가 만나서 만나서 만든 궁형을 히포크라테스 궁형이라고 부르며 구적가능하다.

삼각형ACB는 반원ACB에 내접하는 직각삼각형이다. 또한, 삼각형AOC와 삼각형BOC는 서로 합동이므로 변AC = 변BC 이다. 따라서 피타고라스 정리를 적용하면, 

AB*AB = AC*AC+BC*BC+2*AC*AC

AB는 반원ACB의 지름이고, AC는 반원 AEC의 지름이므로 

반원AEC의 넓이/반원ACB의 넓이 = AC*AC/AB*AB = AC*AC/2*AC*AC = 1/2

따라서

반원 AEC의 넓이 = 4분원 AFCO의 넓이

즉,

궁형 AECF의 넓이 = 반원 AEC의 넓이 - 활꼴AFC의 넓이 

= 4분원 AFCO의 넓이 - 활꼴 AFC의 넓이

= 삼각형 ACO의 넓이

모든 삼각형은 구적가능하므로 히포크라테스의 궁형은 구적가능하다. 

히포크라테스는 이 특수 궁형 외에도 구적가능한 두 개의 궁형을 더 찾아 냈다. 그 후 구적가능한 궁형은 오직 세 개뿐인 것으로 알려져 오다가 1771년에 수학자 오일러(Euler, 1708~1783)가 구적가능한 궁형ㅇ르 두 개 더 찾아내어 지금까지 알려진 구적가능한 궁형은 다섯 개이다.